중학수학 중2 1학기 기말고사 대비 - 연립방정식

안녕하세요. 이번 포스팅은 6월 말 또는 7월 초에 치러질 중학교 2학년 1학기 기말고사를 대비해서 각 단원별로 꼭 알아야 할 중요 개념과 유형별 문제풀이를 해보도록 하겠습니다.

우선 일반적으로 III.연립방정식 ~ V. 일차함수 까지가 시험 범위일 텐데 학교마다 차이가 있을 수 있습니다.

중간고사 시험 범위 이후부터가 기말고사 범위일 텐데 어떤 학교는 일부 단원을 중첩해서 기말고사 범위에 포함하는 학교도 있으니 시험 범위를 잘 확인하시고 시험대비를 해야겠습니다.

참고로 연립방정식 단원부터가 시험범위가 아닐 수도 있으나 연립방정식을 단지 해를 구하는 것에 그치지 않고 그 해가 가지는 의미는 상당히 중요한 개념이므로 연립방정식의 해를 활용하는 단원들에 대해서 자세히 설명드리도록 하겠습니다. 

 

중학 수학 중2 1학기 기말고사 대비 - 연립방정식과 활용

 

 연립방정식 이란?

연립방정식(simultaneous equation, 또는 방정식계(system of equations, equation system)란 방정식의 일종으로, 2개 이상의 미지수를 포함하는 방정식의 조를 연립방정식이라고 한다.

연립방정식은 일반적으로 대입법과 가감법을 이용해서 특정 문자들을 소거함으로써, 식을 간편화로 바꾸어서 해를 구한다.

연립방정식은 미지수의 개수, 미지수의 최고 차수를 분류 기준으로 삼아서, 그 연립방정식의 이름을 정의한다. 

 

라고 위키백과에 나와있습니다. 뭐 영어가 쓰여있고 방정식계가 어쩌고 하는 건 신경 쓰시지 마시고 눈여겨보아야 할 부분은 '2개 이상의 미지수를 포함하는 방정식의 조' 라는 부분입니다.

이게 연립방정식의 정의입니다. 그리고 대입법과 가감법 이 두가지 방법을 이용하여 해를 구하고 주어진 다항식의 차수가 모두 1차 식이면 연립 1차 방정식, 2차 식이면 연립 2차 방정식 이렇게 이름을 정의한다는 것입니다.

우리가 중학교 2학년때 배울 연립방정식은 연립 1차 방정식이 되겠습니다. 

 

부연설명을 좀 하자면 하나의 미지수가 2개인 일차방정식의 해는 셀 수 없이 많이 있습니다. 

예를 들어

2x+y=15 의 자연수인 해를 순서쌍으로 나타내면 (x, y)=(1,13) (2,11) (3,9) (4,7) (5,5) (6,3) (7,1) 이렇게 많은 해를 갖습니다. 그런데 자연수뿐 아니라 정수, 유리수 범위까지 생각해서 해를 구한다고 하면 해가 무수히 많겠지요. 

하지만 2x+y=15 와 x+y=10을 동시에 만족하는 해는 x=5, y=5 이렇게 한쌍만 존재합니다. 

두 개의 미지수가 2개인 일차방정식을 동시에 만족시키는 해는 기본적으로 1쌍밖에 존재하지 않습니다.

물론 특수한 해를 갖는 1차 연립방정식도 있기는 하지만 우선 생각해야 할 부분은 기본적인 해는 1쌍이다. 라는 부분을 꼭 기억하시기 바랍니다. 

 

 

 연립방정식 풀이방법

연립 1차 방정식의 해를 구하는 방법은 위에서 언급했듯이 대입법과 가감법 두 가지 방법이 있습니다.

두가지 방법 중 하나의 방법만 익히셔도 연립방정식의 해를 구하는 데에는 전혀 문제가 없습니다. 단, 연립방정식의 모양에 따라서 알맞은 방법을 사용하지 않으면 계절에 맞지 않는 옷을 입는 것처럼 좀 불편하게 해를 구하는 것랍니다. 

 

대입법과 가감법은 방법의 차이일 뿐이고 궁극적으로는 두 개의 미지수중에 하나의 미지수를 소거하는 게 목적입니다.

즉, 하나의 방정식을 다른 방정식에 대입해서 하나의 미지수를 소거(대입법)하거나, 또는 두 개의 방정식을 적절하게 (하나의 미지수의 계수를 같게) 곱하거나 나눈 후 더하거나 빼서 하나의 미지수를 소거(가감법)한다는 것입니다.

 

자 그럼 간단하게 예제를 통해 한번 알아보겠습니다.

연립일차방정식 예제1

이 연립방정식을 대입법과 가감법, 두 가지 방법으로 풀어보면

 

(i) 대입법

위에서 설명한 것처럼 하나의 문자를 소거하기 위해 하나의 방정식을 다른 방정식에 대입하는 것이므로 두 개의 방정식을 살펴보면 5x 가 같으므로 

연립일차방정식 예제1 대입법 풀이

 

(ii) 가감법

연립일차방정식 예제1 가감법 풀이

이렇게 연립방정식의 해는 같게 구할 수 있습니다. 지금 이 예제는 대입법이나 가감법 두 방법 모두 해를 구하는 데 있어서 어떤 방법이 편한지 불편한지 크게 구별은 안됩니다만, 정해진 시간 안에 풀어야 하는 시험을 생각한다면 여러 문제를 풀어보고 연습하면서 어떤 방법이 유용한 지 잘 선택해서 해를 구하는 게 좋겠습니다. 

방법을 선택했다면 문자들의 계수를 정수로 바꾼 후 어떤 문자를 소거해서 해를 구하는게 편하고 빠른지를 조금만 생각해서 풀이해 나가면 됩니다. 

 

몇 가지 유형을 예를 들어 풀어보겠습니다. 

 

① 계수가 소수와 분수가 같이 있는 경우

연립일차방정식 예제2

<풀기 전 생각> 대입법이나 가감법을 선택하기 전에 우선 생각할 부분은 계수들이 소수와 분수로 되어있으니 불편하므로 등식의 성질을 이용하여 계수들을 정수로 바꿔준 후 방법을 선택하고 해를 구하면 되겠습니다. 

연립일차방정식 예제2 풀이

위 해설에서 보듯 계수를 모두 정수로 바꾼 후 가감법을 통해 먼저 y를 소거한 다음에 x를 구하고, 그 x 값을 이용하여 y를 구했습니다. 

 

② 계수가 복잡한 식인 경우

연립일차방정식 예제3

<풀기 전 생각> 이 문제도 푸는 방법을 선택하기보다는 우선 식을 간단히 만든 후 방법을 선택해야겠습니다.

연립일차방정식 예제3 풀이

③ 다른 형태의 연립방정식의 경우

연립일차방정식 예제4

<풀기 전 생각> 일반적 형태의 연립방정식이 아니라 A=B=C 모양입니다. 이런 형태의 연립방정식 해결방법은 방정식 두 개씩 묶어서 일반적인 연립방정식 형태로 만든 후에 풀이하면 됩니다. 

연립일차방정식 예제4 풀이

 

 

 연립방정식의 활용과 해가 갖는 그래프에서의 의미

활용에 관련된 단원은 어떤 단원이던지 간에 항상 패턴이 같습니다. 

1. 우선 문제를 잘 읽고 이해하고 무엇을 구하는 문제인지 생각해봅니다.
2. 미지수 x, y를 정합니다.
3. 문제의 뜻에 맞게 연립방정식을 세웁니다.
4. 연립방정식을 풀어 해를 구합니다.

위 순서는 누구든지 알고는 있지만 미지수를 어떤 걸로 정해야 하는지 연립방정식을 어떻게 세워야 하는지 잘 감이 오질 않습니다.

미지수를 정할 때 어떤 걸로 정해야 할지 모를때는 책 덮어버리지 마시고 문제에서 구하라고 하는것을 미지수(x, y) 로 정하고 연립방정식을 세워보시기 바랍니다.

미지수를 어떤걸로 정하는지에 따라서 답은 똑같지만 연립방정식이 간단할지 복잡할지 결정되는 것이거든요. 활용에 관한 단원에 자신이 없는 학생분들은 일단 힘들겠지만 여러 문제를 풀어봄으로써 미지수를 정하는 연습에 일단 몰두하시기 바랍니다. 

 

연립 일차방정식은 미지수가 2개인 일차방정식 두 개를 동시에 만족하는 해(x, y)를 구하는 것과 더불어 생각해야 할 부분은 그 연립방정식의 해가 갖는 의미는 좌표평면에서의 점의 좌표라는 것입니다.

즉, 각 일차방정식들의 그래프를 좌표평면에 그렸을 때(V. 일차함수) 두 직선의 교점이 바로 연립방정식의 해라는 뜻입니다.

좌표평면에 있는 그래프들의 교점의 좌표를 구할 때 연립방정식을 활용해야 한다는 것이지요. 이는 어떤 함수이던지 간에 그래프의 교점을 구할 때는 연립방정식의 해를 구해야 한다는 생각을 해야 합니다.

 

그리고 연립 일차방정식의 해는 기본적으로 한 개이지만 한 개가 아닐 경우도 있습니다. 해가 없을 수도 있고, 또는 무수히 많을 수도 있습니다. 특수한 해를 갖는 연립 일차방정식은 5단원의 일차함수와 연관 지어서 이해를 하면 더욱 쉽게 이해할 수 있습니다.

 

중학교 1학년 2학기 때 배웠던 한 평면에서 두 직선의 위치 관계를 생각해보면 한 평면에서 두 개의 직선은

1. 한 점에서 만나는 경우
2. 평행한 경우
3. 일치하는 경우

입니다. 

미지수가 2개인 일차방정식의 모든 해를 좌표평면에 점으로 나타내 보면 하나의 직선이 됨을 알 수 있습니다. 따라서 연립 일차방정식은 좌표평면에 두 개의 직선으로 나타나게 됩니다.

즉, 한 점에서 만나는 경우는 연립방정식의 해가 하나인 경우이고 평행한 경우는 교점이 없으므로 해가 없는 것이고, 일치하는 경우는 교점이 셀 수 없이 많은 경우이므로 해가 셀수 없이 많은 것이랍니다. 

 

 

 KEY POINT

연립 일차방정식 단원에서 가장 중요하게 생각해야 할 부분은 단순하게 해를 구하는 것보다는 그 해가 갖는 개념과 의미에 관심을 가져야 합니다.

위에서 설명했듯이 좌표평면에서의 연립방정식의 해는 두 그래프의 교점의 좌표라는 부분을 공부하기 위하여 연립방정식의 해를 어떻게 구하는지 배우는 것입니다.

이는 두 직선에 대해서만 해당하는 내용이 아니라 좌표평면에서 그려지는 모든 함수 또는 도형의 방정식에 대해 공통적으로 적용되는 개념입니다. 그러므로

 

연립방정식의 해를 구하는 것은 두 도형의 교점을 구하는 것

 

이라는 생각을 꼭 하시면서 공부하시면 큰 도움이 될 것이라 생각합니다.