중학수학 중2 1학기 기말고사 대비 - 부등식

안녕하세요. 이번 포스팅은 중학교 2학년 1학기 기말고사를 대비해서 부등식과 부등식의 활용에 관한 단원에 대해서 자세히 알아보도록 하겠습니다. 

 

중학 수학 중2 1학기 기말고사 대비 - 부등식

 

 

 

 부등식이란?

부등식이란 우리가 초등학교 때 배웠던 부등호 기호가 들어있는 식을 말합니다. 즉 부등호 < , > , ≤ , ≥ 를 사용하여 수 또는 식의 대소 관계를 나타낸 식입니다. 

 

a>b	a<b	a≤b	a≥b
a는 b보다 크다.  a는 b 초과이다.	a는 b보다 작다.  a는 b 미만이다.	a는 b보다 작거나 같다.  a는 b보다 크지 않다.  a는 b 이하이다.	a는 b보다 크거나 같다.  a는 b보다 작지 않다.  a는 b 이상이다.

위의 표에서 학생들이 많이 헷갈리는 부분은 바로 'a는 b보다 크지 않다.' 와 'a는 b보다 작지 않다.' 입니다.

a가 b보다 크지 않으니까 작겠지~라고 생각해서 틀리는 경우가 많습니다. 잘 기억해야 할 부분입니다.

'크지 않다'는 '작거나 같다' 그리고 '작지 않다' 는 '크거나 같다'입니다.

 

부등식의 성질은 등식의 성질과 마찬가지로 부등호 기준으로 좌변과 우변에 같은 수를 더하거나 빼도 부등호 방향은 바뀌지 않습니다. 

그리고 부등식의 성질 중에 핵심 포인트는 양변에 같은 양수를 곱하거나 나누어도 부등호 방향은 바뀌지 않지만, 음수를 곱하거나 나눌 때에는 부등호 방향이 바뀝니다.

 

위의 부등식의 성질 중에서 음수를 곱하거나 나눌 때만 조심해서 부등호 방향을 바꾸면 방정식의 해를 구하듯 이항 하고 같은 수를 곱하고 나누고 하면서 해를 구하면 된답니다. 

 

그리고 부등식의 해는 그 부등식을 참이 되게 하는 미지수의 값 또는 범위가 됩니다. 그래서 부등식을 수직선에 나타내는 능력도 아주 중요합니다.

 

부등식을 수직선에 나타내기

 

 

 일차 부등식과 그 풀이 방법

그럼 일차 부등식은 무엇인지 알아보면 우리가 일차방정식 배울 때와 마찬가지로 부등식의 모든항을 좌변으로 이항 하여 정리했을 때, (일차식)>0 , (일차식)<0 , (일차식)≤0 , (일차식)≥0 중 하나의 꼴로 나타나는 부등식을 말합니다.

별로 어렵지 않죠? ^^

그래도 일차 부등식임을 알아보기 위해 식을 정리할때 이항실수 라던지 양변에 같은수를 곱하거나 나눌때 종종 실수가 많이 나오는 부분이니 아무리 쉽다고 하더라도 방심을 금물입니다.^^

 

일차 부등식 풀이하는 방법은 일차방정식 풀듯이 풀면 됩니다만, 한가지 아주아주 중요한 부분은 '양변에 음수를 곱하거나 음수로 나눌때 부등호 방향 바뀐다' 는 것을 절대 잊어버리면 안됩니다. 일차부등식 풀 때 가장 신경 써서 풀어야 하는 부분입니다. 

 

기본적인 일차 부등식의 예제를 몇 개 풀어보도록 하겠습니다.

 

① 기본 유형

예제1

[풀이] 평범한 일차방정식 풀듯이 이 항 한 후, 같은 수로 나누면

예제1 풀이

 

② 계수가 소수인 경우

예제2

[풀이] 

예제2 풀이

 

③ 계수가 문자인 경우

예제3

[풀이] 부등호 방향이 바뀌는 것에 신경 써야 합니다.

예제3 풀이

 

④ 일차 부등식의 해가 주어지는 경우

예제4

[풀이] 문자가 있는 부등식이라 해서 졸지 말고 숫자처럼 생각하고 풀이하면 됩니다. 

예제4 풀이

 

⑤ 일차 부등식의 해의 조건이 주어지는 경우

예제5

[풀이] 이런 유형의 문제들은 부등식의 해를 수직선에 표시하고 문제의 뜻에 맞게 미지수를 생각하여야 합니다.

예제5 풀이

몇 개의 예제들을 풀어봤는데 다시 한번 언급하지만 음수로 곱하거나 나눌 때 부등호 방향 바뀌는 거 조심하면서 문제 조건에 맞게 침 참하게 풀이해 나가면 되겠습니다. 

 

 

 부등식의 활용 문제 푸는 순서와 예제

부등식의 활용 문제 푸는 순서는 어느 단원이나 마찬가지로 

1. 미지수 정하기 : 문제의 잘 읽고 이해한 후, 구하려는 것을 미지수 x로 놓는다.
2. 부등식 세우기 : 수량 사이의 대소 관계를 찾아 일차 부등식을 세운다.
3. 부등식 풀기 : 부등식을 풀어 해를 구한다.
4. 확인하기 : 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인한다.

여러 가지 일차 부등식의 활용 문제들에 대한 미지수 x를 정하는 방법입니다.

1. 수에 대한 문제
   연속하는 세 정수 : x-1, x, x+1 또는 x, x+1, x+2 
   연속하는 세 홀수(짝수) : x-2, x, x+2 (단 x>2)
   
   
2. 유리한 방법을 선택하는 문제
   예를 들면 교통비를 들여서 도매점을 이용하는 것이 동네 상점을 이용하는 것보다 유리한 경우는 
   동네 상점에서 산 물건 가격 > 도매점에서 산 물건의 가격 + 교통비
   
   
3. 단체 입장 시 할인에 대한 문제
   x명이 입장한다고 할 때, a명의 단체 입장료를 지불하는 것이 더 유리한 경우
   x명의 입장료 > a명의 단체입장료 (단, x <a)
   
   
4. 거리, 속력, 시간에 관한 문제

거리 속력 시간 공식  

일차 부등식 활용에 대한 대표적이고 중요한 문제들 몇 문제 풀어보겠습니다.

 

① 수에 대한 문제

 

[풀이]

예제6 풀이

 

② 최대 개수에 대한 문제

예제7

[풀이]

예제7 풀이

 

③ 유리한 방법을 선택하는 문제

예제8

[풀이]

예제8 풀이

④ 거리, 속력, 시간에 관한 문제

예제9

[풀이]

예제9 풀이

 

각 유형별로 대표적인 몇몇 문제에 관해서 풀어보았습니다. 위 몇 가지 문제들을 참고해서 다른 문제들도 스스로 풀어보시고 풀어보시다가 궁금하시거나 막히는 부분이 있으시면 댓글 달아 주시면 최대한 성심성의껏 답변드리겠습니다.

 

 

 KEY POINT

이 부등식의 단원에서의 KEY POINT는 뭐니 뭐니 해도 부등호 방향 조심입니다.

 

부등식의 양변을 음수로 나누거나 곱할 때 부등호 방향은 바뀐다!!

이상입니다. ^^