드디어 3학년 1학기 마지막 단원인 이차함수 단원입니다.
끝까지 힘내고 파이팅입니다.
목차
이차함수의 뜻
이차함수란 \( y=f(x)\) 에서 \(y\) 가 \(x\) 에 대한 이차식 즉,
\(y=ax^2+bx+c \;\; ( a, b, c는 상수 , a \neq 0 )\) 로 나타날 때, 이 함수를 \(x\)에 대한 이차함수라 합니다.
예를 들면
\(y=\frac{1}{2}x^2\ ,\ y=-x^2+3x+2\) 는 이차함수가 맞고,
\(y=\frac{1}{x^2}\ ,\ y=3x-1\) 는 이차함수가 아닙니다.
이차함수의 함수값은 함수 식의 \(x\)에 수 나 문자를 대입했을 때의 \(y\) 값 또는 \(f(x)\) 값을 말합니다.
즉, 이차함수 \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) 에서 \(x=k\) 일 때의 함숫값은
\(x=k\) 를 대입했을 때의 \(f(x)\) 의 값
\(f(x)=ak^2+bk+c\)
예를 들면
\(f(x)=-x^2+3x+2\) 에서 \(x=2\) 일 때의 함숫값을 구하면
\(f(2)=-2^2+3\times2+2=4\) 입니다.
이차함수 \(y=ax^2\)의 그래프
\(y=ax^2\) 의 그래프를 이해하고 공부하기 위해서 먼저 \(y=x^2\) 의 그래프를 알아보겠습니다.
(1) 이차함수 \(y=x^2\) 의 그래프
| 원점 \( (0, 0) \) 을 지나고, 아래로 볼록한 곡선입니다. |  |
| \(y\) 축에 대칭. | |
| \(x<0\) 일 때, \(x\) 의 값이 증가하면 \(y\) 의 값은 감소한다. | |
| \(x>0\) 일 때, \(x\) 의 값이 증가하면 \(y\) 의 값도 증가한다. | |
| 이차함수 \(y=-x^2\) 의 그래프와 \(x\)축에 대해 서로 대칭입니다. |
(2) 이차함수 \(y=ax^2\) 의 그래프
| 원점 \( (0, 0) \) 을 꼭짓점으로 한다. |  |
| \(y\)축에 대칭. → 축의 방정식 : \(x=0 (y축) \) | |
| \(a>0\) 일때, 아래로 볼록한 포물선이고, \(a<0\) 일때, 위로 볼록한 포물선이다. |
|
| \(a\) 의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다. | |
| 이차함수 \(y=-ax^2\) 의 그래프와 \(x\)축에 서로 대칭이다. |
| 포물선은 \(y=ax^2\)의 그래프와 같은 모양의 곡선이고, 축은 선대칭도형인 포물선의 대칭축을 말하고, 꼭짓점은 포물선과 축과의 교점을 말합니다. |
 |
\(y=a(x-p)^2+q \) 의 그래프
\(y=ax^2+q\) 의 그래프
이차함수 \(y=ax^2+q\) 의 그래프는 이차함수 \(y=ax^2\) 의 그래프를 \(y\) 축의 방향으로 \(q\) 만큼 평행이동한 것입니다.
$$y=ax^2\; \; \xrightarrow[{\color{Blue} q}만큼 평행이동]{y축 방향으로}\;y=ax^2+{\color{Blue} q}\; $$
| 꼭지점의 좌표 : \( ( 0 , q ) \) 축의 방정식 : \( x=0 (y축) \) (예) 이차함수 \( y=2x^2+3 \) 의 그래프는 \(y=2x^2\) 의 그래프를 \(y\) 축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것입니다. 꼭짓점의 좌표 : \( ( 0 , 3 ) \) , 축의 방정식 : \( x=0 (y축) \) |
 |
| 이차함수의 그래프를 평행이동하면 그래프의 모양과 폭은 변하지 않고 위치만 바뀝니다. 즉, 그래프의 모양과 폭을 결정하는 \( x^2 \) 의 계수 \(a\) 는 변하지 않습니다. 조심조심. |
|
\(y=a(x-p)^2\) 의 그래프
이차함수 \(y=a(x-p)^2\) 의 그래프는 이차함수 \(y=ax^2\)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(p\)만큼 평행 이동한 것입니다.
$$y=ax^2\; \; \xrightarrow[{\color{Blue} p}만큼 평행이동]{x축 방향으로}\;y=a(x-{\color{Blue}p})^2 \; $$
| 꼭짓점의 좌표 : \( ( p , 0 ) \) 축의 방정식 : \( x=p \) (예) 이차함수 \( y=2(x-3)^2 \) 의 그래프는 \( y=2x^2 \) 의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것입니다. 꼭짓점의 좌표 : \( ( 3 , 0 ) \) , 축의 방정식 : \( x=3 \) |
 |
\(y=a(x-p)^2+q\) 의 그래프
이 모양의 함수식을 배우기 위해 바로 위 \( y=ax^2+q , y=a(x-p)^2 \) 의 그래프에 대해서 알아보았습니다.
\(y=a(x-p)^2+q\) 의 그래프는 위의 두 모양을 합쳐 놓은 것이라고 생각하시면 됩니다.
즉,
\(y=a(x-p)^2+q\) 의 그래프는 이차함수 \( y=ax^2 \)의 그래프를 \(x\)축 방향으로 \(p\) 만큼,
\(y\) 축 방향으로 \(q\) 만큼 평행이동한 것입니다.
$$y=ax^2\; \; \xrightarrow[\begin{matrix}{y축 방향으로 \color{Red} q만큼}\;\\평행이동\end{matrix}]{x축 방향으로 \color{Blue} p만큼}\;y=a(x-{\color{Blue}p})^2+\color{Red}q \;$$
| 꼭짓점의 좌표 : \( ( p , q ) \) |  |
| 축의 방정식 : \( x=p \) | |
| (예) 이차함수 \( y=2(x-3)^2+4 \) 의 그래프는 \( y=2x^2 \) 의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 3만큼, \(y\)축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것입니다. 꼭짓점의 좌표 : \( ( 3 , 4 ) \) , 축의 방정식 : \( x=3 \) |
|
| (예) 이차함수 \(y=2(x+1)^2+3\) 의 그래프를 \(x\)축의 방향으로 2만큼, \(y\)축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프의 식은 \(y=2(x-2+1)^2+3+4\) 이므로 \(y=2(x-1)^2+7\) 이 됩니다. |
\(y=ax^2+bx+c\) 의 그래프
\(y=ax^2+bx+c\) 의 그래프에서 \( a , b , c \) 의 부호
(1) \(a\)의 부호 : 그래프의 모양을 결정합니다.
\(a>0\) 이면 아래로 볼록, \(a<0\) 이면 위로 볼록 합니다.
(2) \(b\)의 부호 : 그래프의 축의 위치를 결정합니다.
| 축이 \(y\)축의 왼쪽이면 \( a , b \)는 서로 같은 부호. |  |
| 축이 \(y\)축이면 \( b=0 \) | |
| 축이 \(y\)축의 오른쪽이면 \( a , b \)는 서로 다른 부호입니다. | |
| (참고) \(y=ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\) 에서 축의 방정식은 \(x=-\frac{b}{2a}\) 이므로 축이 \(y\)축의 왼쪽에 있으면 \(-\frac{b}{2a}<0 \) 에서 \(\frac{b}{2a}>0\). 따라서 \( a , b \)는 서로 같은 부호 축이 \(y\)축의 오른쪽에 있으면 \(-\frac{b}{2a}>0\) 에서 \(\frac{b}{2a}<0\). 따라서 \( a , b \)는 서로 다른 부호입니다. |
|
(3) \(c\)의 부호 : \(y\)축과 만나는 점의 위치에 따라 결정됩니다. 즉 \(y\) 절편이라 생각하시면 됩니다.
이차함수 식 구하기
(1) 꼭짓점의 좌표 \( ( p , q )\) 와 그래프가 지나는 다른 한 점이 주어질 때
- 구하려는 이차함수의 식을 \(y=a(x-p)^2+q\) 로 놓는다.
- 1. 의 식에 주어진 다른 한 점의 좌표를 대입하여 \(a\) 의 값을 구한다.
(예제)
(예제1풀이)
(2) 축의 방정식 \(x=p\)과 그래프가 지나는 서로 다른 두 점이 주어질 때
- 구하려는 이차함수의 식을 \(y=a(x-p)^2+q\) 로 놓는다.
- 1. 의 식에 주어진 두 점의 좌표를 각각 대입하여 \( a , q \) 의 값을 구한다.
(예제)
(예제 2 풀이)
(3) 그래프가 지나는 서로 다른 세 점이 주어질 때
- 구하려는 이차함수의 식을 \(y=ax^2+bx+c\) 로 놓는다.
- 1. 의 식에 주어진 세 점의 좌표를 각각 대입하여 \( a , b , c \)의 값을 구한다.
(예제)
(예제 3 풀이)
(4) \(x\)축과 만나는 두 점 \( (\alpha , 0 ) , (\beta , 0 )\) 과 그래프가 지나는 다른 한 점이 주어질 때
- 구하려는 이차함수의 식을 \(y=a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)\) 로 놓는다.
- 1. 의 식에 주어진 다른 한 점의 좌표를 대입하여 \(a\)의 값을 구한다.
(예제)
(예제 4 풀이)
KEY POINT
이차함수에서는 중요한 부분들이 너무 많기 때문에 KEY POINT를 콕 집어서 한 가지만 정하기는 너무 어렵습니다.
그래도 꼭 알아두셔야 할 개념을 몇 가지 정리해 보면,
1. 최고차항인 2차 항의 계수는 그래프의 모양을 결정한다.
2. 이차함수에서의 꼭짓점 구하는 방법은 꼭 알아두셔야 합니다.
3. 꼭짓점과 2차항 계수의 부호, 그리고 y 절편을 활용하여 그래프의 개형을 그릴 수 있어야 합니다.
4. 이차함수의 표준형을 일반형으로 또는 일반형을 표준형으로 자연스럽게 변형할 수 있어야 합니다.
참고로,
\(y=a(x-p)^2+q \) 를 이차함수의 표준형이라 하고 ,\(y=ax^2+bx+c\) 를 이차함수의 일반형이라고 한답니다.
$$y=a\left(x-p\right)^2+q\ \ \ \rightleftarrows \ \ \ y=ax^2+bx+c$$
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