중학수학 중3 1학기 기말고사 대비 - 이차함수

드디어 3학년 1학기 마지막 단원인 이차함수 단원입니다.

끝까지 힘내고 파이팅입니다.

 

목차

•  이차함수의 뜻
•  이차함수 \(y=ax^2\)의 그래프
•  \(y=a(x-p)^2+q \) 의 그래프
  •   \(y=ax^2+q\) 의 그래프
  •   \(y=a(x-p)^2\) 의 그래프
  •   \(y=a(x-p)^2+q\) 의 그래프
•  \(y=ax^2+bx+c\) 의 그래프
  •   \(y=ax^2+bx+c\) 의 그래프에서 \( a , b , c \) 의 부호
  • 이차함수 식 구하기
•  KEY POINT

 

 이차함수의 뜻

이차함수란 $y=f(x)$ 에서 $y$ 가 $x$ 에 대한 이차식 즉,

$y=a{x}^2+bx+c(a,b,c는상수,a\ne 0)$ 로 나타날 때, 이 함수를 $x$에 대한 이차함수라 합니다.

 

예를 들면

$y=\frac{1}{2}{x}^2,y=-x^2+3x+2$ 는 이차함수가 맞고,

$y=\frac{1}{x^2},y=3x-1$ 는 이차함수가 아닙니다.

 

이차함수의 함수값은 함수 식의 $x$에 수 나 문자를 대입했을 때의 $y$ 값 또는 $f(x)$ 값을 말합니다.

즉, 이차함수 $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ 에서 $x=k$ 일 때의 함숫값은

$x=k$ 를 대입했을 때의 $f(x)$ 의 값

$f(x)=a{k}^2+bk+c$

 

예를 들면

$f(x)=-x^2+3x+2$ 에서 $x=2$ 일 때의 함숫값을 구하면

$f(2)=-2^2+3\times 2+2=4$ 입니다.

 

 

 이차함수 $y=a{x}^2$의 그래프

$y=a{x}^2$ 의 그래프를 이해하고 공부하기 위해서 먼저 $y=x^2$ 의 그래프를 알아보겠습니다.

 

(1) 이차함수 $y=x^2$ 의 그래프

원점 $(0,0)$ 을 지나고, 아래로 볼록한 곡선입니다.
$y$ 축에 대칭.
$x<0$ 일 때, $x$ 의 값이 증가하면 $y$ 의 값은 감소한다.
$x>0$ 일 때, $x$ 의 값이 증가하면 $y$ 의 값도 증가한다.
이차함수 $y=-x^2$ 의 그래프와 $x$축에 대해 서로 대칭입니다.

(2) 이차함수 $y=a{x}^2$ 의 그래프

원점 $(0,0)$ 을 꼭짓점으로 한다.
$y$축에 대칭. → 축의 방정식 : $x=0(y축)$
$a>0$ 일때, 아래로 볼록한 포물선이고, $a<0$ 일때, 위로 볼록한 포물선이다.
$a$ 의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
이차함수 $y=-a{x}^2$ 의 그래프와 $x$축에 서로 대칭이다.

 

포물선은 $y=a{x}^2$의 그래프와 같은 모양의 곡선이고, 축은 선대칭도형인 포물선의 대칭축을 말하고, 꼭짓점은 포물선과 축과의 교점을 말합니다.

 

 

 $y=a(x-p{)}^2+q$ 의 그래프

  $y=a{x}^2+q$ 의 그래프

이차함수 $y=a{x}^2+q$ 의 그래프는 이차함수 $y=a{x}^2$ 의 그래프를 $y$ 축의 방향으로 $q$ 만큼 평행이동한 것입니다.

$$y=a{x}^2\underset{q만큼평행이동}{\overset{y축방향으로}{\to }}y=a{x}^2+q$$

꼭지점의 좌표 : $(0,q)$ 축의 방정식 : $x=0(y축)$ (예) 이차함수 $y=2x^2+3$ 의 그래프는 $y=2x^2$ 의 그래프를 $y$ 축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것입니다.  꼭짓점의 좌표 : $(0,3)$ , 축의 방정식 : $x=0(y축)$
이차함수의 그래프를 평행이동하면 그래프의 모양과 폭은 변하지 않고 위치만 바뀝니다.  즉, 그래프의 모양과 폭을 결정하는 $x^2$ 의 계수 $a$ 는 변하지 않습니다. 조심조심.

 

  $y=a(x-p{)}^2$ 의 그래프

이차함수 $y=a(x-p{)}^2$ 의 그래프는 이차함수 $y=a{x}^2$의 그래프를 $x$축 방향으로 $p$만큼 평행 이동한 것입니다.

$$y=a{x}^2\underset{p만큼평행이동}{\overset{x축방향으로}{\to }}y=a(x-p{)}^2$$

꼭짓점의 좌표 : $(p,0)$ 축의 방정식 : $x=p$ (예) 이차함수 $y=2(x-3{)}^2$ 의 그래프는 $y=2x^2$ 의 그래프를 $x$축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것입니다. 꼭짓점의 좌표 : $(3,0)$ , 축의 방정식 : $x=3$

 

  $y=a(x-p{)}^2+q$ 의 그래프

이 모양의 함수식을 배우기 위해 바로 위 $y=a{x}^2+q,y=a(x-p{)}^2$ 의 그래프에 대해서 알아보았습니다.

$y=a(x-p{)}^2+q$ 의 그래프는 위의 두 모양을 합쳐 놓은 것이라고 생각하시면 됩니다. 

즉,

$y=a(x-p{)}^2+q$ 의 그래프는 이차함수 $y=a{x}^2$의 그래프를 $x$축 방향으로 $p$ 만큼,

$y$ 축 방향으로 $q$ 만큼 평행이동한 것입니다.

 

$$y=a{x}^2\underset{\begin{array}{c}y축방향으로q만큼\\ 평행이동\end{array}}{\overset{x축방향으로p만큼}{\to }}y=a(x-p{)}^2+q$$

 

꼭짓점의 좌표 : $(p,q)$
축의 방정식 : $x=p$
(예) 이차함수 $y=2(x-3{)}^2+4$ 의 그래프는 $y=2x^2$ 의 그래프를 $x$축의 방향으로 3만큼, $y$축의 방향으로 4만큼 평행이동한 것입니다.  꼭짓점의 좌표 : $(3,4)$ , 축의 방정식 : $x=3$
(예) 이차함수 $y=2(x+1{)}^2+3$ 의 그래프를 $x$축의 방향으로 2만큼, $y$축의 방향으로 4만큼 평행이동한 그래프의 식은 $y=2(x-2+1{)}^2+3+4$ 이므로 $y=2(x-1{)}^2+7$ 이 됩니다.

 

 

 

 $y=a{x}^2+bx+c$ 의 그래프

  $y=a{x}^2+bx+c$ 의 그래프에서 $a,b,c$ 의 부호

(1) $a$의 부호 : 그래프의 모양을 결정합니다.

$a>0$ 이면 아래로 볼록, $a<0$ 이면 위로 볼록 합니다.

 

(2) $b$의 부호 : 그래프의 축의 위치를 결정합니다.

축이 $y$축의 왼쪽이면 $a,b$는 서로 같은 부호.
축이 $y$축이면 $b=0$
축이 $y$축의 오른쪽이면 $a,b$는 서로 다른 부호입니다.
(참고) $y=a{x}^2+bx+c=a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$ 에서 축의 방정식은 $x=-\frac{b}{2a}$ 이므로 축이 $y$축의 왼쪽에 있으면 $-\frac{b}{2a}<0$ 에서 $\frac{b}{2a}>0$. 따라서 $a,b$는 서로 같은 부호 축이 $y$축의 오른쪽에 있으면 $-\frac{b}{2a}>0$ 에서 $\frac{b}{2a}<0$. 따라서 $a,b$는 서로 다른 부호입니다.

(3) $c$의 부호 : $y$축과 만나는 점의 위치에 따라 결정됩니다. 즉 $y$ 절편이라 생각하시면 됩니다.

 

이차함수 식 구하기

(1) 꼭짓점의 좌표 $(p,q)$ 와 그래프가 지나는 다른 한 점이 주어질 때

1. 구하려는 이차함수의 식을 $y=a(x-p{)}^2+q$ 로 놓는다.
2. 1. 의 식에 주어진 다른 한 점의 좌표를 대입하여 $a$ 의 값을 구한다.

(예제)

예제1

(예제1풀이)

예제1풀이

 

(2) 축의 방정식 $x=p$과 그래프가 지나는 서로 다른 두 점이 주어질 때

1. 구하려는 이차함수의 식을 $y=a(x-p{)}^2+q$ 로 놓는다.
2. 1. 의 식에 주어진 두 점의 좌표를 각각 대입하여 $a,q$ 의 값을 구한다.

(예제)

예제2

(예제 2 풀이)

예제2풀이

 

(3) 그래프가 지나는 서로 다른 세 점이 주어질 때

1. 구하려는 이차함수의 식을 $y=a{x}^2+bx+c$ 로 놓는다.
2. 1. 의 식에 주어진 세 점의 좌표를 각각 대입하여 $a,b,c$의 값을 구한다.

(예제)

예제3

(예제 3 풀이)

예제3풀이

 

(4) $x$축과 만나는 두 점 $(\alpha ,0),(\beta ,0)$ 과 그래프가 지나는 다른 한 점이 주어질 때

1. 구하려는 이차함수의 식을 $y=a(x-\alpha )(x-\beta )$ 로 놓는다.
2. 1. 의 식에 주어진 다른 한 점의 좌표를 대입하여 $a$의 값을 구한다.

(예제)

예제4

(예제 4 풀이)

예제4풀이

 

 

 KEY POINT

  이차함수에서는 중요한 부분들이 너무 많기 때문에 KEY POINT를 콕 집어서 한 가지만 정하기는 너무 어렵습니다. 

그래도 꼭 알아두셔야 할 개념을 몇 가지 정리해 보면, 

 

1. 최고차항인 2차 항의 계수는 그래프의 모양을 결정한다. 

 

2. 이차함수에서의 꼭짓점 구하는 방법은 꼭 알아두셔야 합니다. 

 

3. 꼭짓점과 2차항 계수의 부호, 그리고 y 절편을 활용하여 그래프의 개형을 그릴 수 있어야 합니다.

 

4. 이차함수의 표준형을 일반형으로 또는 일반형을 표준형으로 자연스럽게 변형할 수 있어야 합니다. 

 

참고로,

 

$y=a(x-p{)}^2+q$ 를 이차함수의 표준형이라 하고 ,$y=a{x}^2+bx+c$ 를 이차함수의 일반형이라고 한답니다. 

 

 

$$y=a{(x-p)}^2+q\rightleftarrows y=a{x}^2+bx+c$$