오늘은 중학교 3학년 1학기 기말고사 범위인 이차방정식에 대해 공부해 봅시다.
목차
이차방정식의 뜻과 해
\(x\)에 대한 이차방정식 : 등식의 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항 하여 정리한 식이
\( (x에 대한 이차식)=0 \) 의 꼴로 나타내어지는 방정식을 말합니다. 즉,
$$ ax^2+bx+c=0 \;\;( 단, a, b, c는 상수, a\neq 0 ) → 이차방정식의 일반형 $$
이차방정식이 되기 위해서는 이차항이 없어지면 안 되기 때문에 \( ( x^2 의 계수 ) \neq 0 \)이어야 합니다.
이차방정식의 해(근) : 이차방정식 \( ax^2+bx+c=0 ( 단, a\neq0 )\) 을 참이 되게 하는 \( x \) 의 값.
[참고] 미지수 \( x \)에 대한 특별한 언급이 없을 때에는 \( x \)의 값의 범위를 실수 전체로 생각합니다.
이차방정식을 푼다 : 이차방정식의 해를 모두 구하는 것을 말한답니다.
결국엔 최고차항의 차수가 그 방정식의 차수를 결정하는 것이랍니다.
여러가지 이차방정식 풀이 방법 ( 인수분해, 제곱근, 완전 제곱식 )
인수분해를 이용한 이차방정식 풀이
\( AB=0 \) 의 성질 : 두 수 또는 두 식 \( A , B \) 에 대하여 \( AB=0 이면 A=0 또는 B=0\)입니다.
이를 이용하여 주어진 이차방정식을 \( ax^2+bx+c=0 \)의 꼴로 나타낸 후 좌변을 인수분해를 합니다.
이후에 \( AB=0 이면 A=0 또는 B=0\)임을 이용하여 해를 구합니다.
이차방정식의 해를 구할 때 여러 가지 방법이 있지만 가장 먼저 생각해 봐야 하는 방법입니다.
(미리 말하자면 인수분해가 안되면 근의 공식을 이용하여 해를 구한답니다. )
[풀이]
이때 인수분해를 했을 때 완전 제곱식으로 인수분해가 됐다면, 즉 \( 완전제곱식) = 0 \) 의 꼴로 인수분해가 되면 그 이차방정식은 중근을 갖습니다.
중근이란 '중복된 근'이라고 생각하시면 됩니다. 근이 한 개라고 이해하는 것보다는 근이 두 개인데 중복된 근이라고 이해하시면 나중에 도움이 된답니다. 중복된 근=서로 같은 두 근 입니다.
따라서 이차방정식 \( x^2+ax+b=0 \)이 중근을 가지려면 좌변이 완전 제곱식으로 인수분해가 되어야 하므로
\( b=(\frac{a}{2})^2 \) 이어야 합니다.
이차식이 완전 제곱 식이 되기위한 조건은 앞 단원에서 배운것처럼 일차항 계수의 반의 제곱이 상수항과 같으면 완전제곱식이 됩니다.
이건 절대 까먹지 마세요~
제곱근을 이용한 이차방정식 풀이
이차방정식 \( x^2=k (단, k>0) \) 의 해 → \( x=±\sqrt k \) 이 되는것은 1단원의 제곱근의 정의에 의해 알수 있습니다.
그럼 조금 변형된 이차방정식
\( (x+p)^2=q (단, q>0) \) 의 해 → \( x=-p±\sqrt q \) 이 됩니다.
예제를 하나 풀어봅시다.
[풀이]
완전 제곱식을 이용한 이차방정식 풀이
이차방정식 \( ax^2+bx+c=0 (단, a \neq 0) \) 의 좌변이 인수분해가 되지 않을 때에는 완전 제곱식을 이용하여 이차방정식을 풀 수 있습니다.
사실 이차식을 완전 제곱식으로 변형하는 방법은 이차방정식의 해를 구할 때에는 많이 쓰이지는 않습니다.
하지만 이차함수 배울 때 많이 쓰이므로 꼭 알아놓아야 한답니다.
완전 제곱식을 이용하여 이차방정식의 해를 구하는 순서입니다.
1. 이차항의 계수를 1로 만든다.
2. 상수항을 우변으로 이항 한다.
3. 양변에 \( (\frac{x의 계수}{2})^2 \) 을 더한다.
4. 좌변을 완전 제곱식으로 고친다.
5. 제곱근을 이용하여 이차방정식을 푼다.
예제를 하나 보면,
[풀이]
이차방정식의 근의 공식
\( x \)에 대한 이차방정식 \( ax^2+bx+c=0 (단, a \neq 0) \) 의 해는
$$ x=\frac{-b±\sqrt {b^2-4ac}}{2a} (단, b^2-4ac≥0) $$
특히 \( x \)의 계수가 짝수일 때, \( x \)에 대한 이차방정식 \( a'x^2+2b'x+c=0 (단, a \neq 0) \) 의 해는
$$ x=\frac{-b'±\sqrt {b'^2-ac}}{a} (단, b'^2-ac≥0) $$
이 짝수 공식은 굳이 외울 필요는 없지만 짝수 공식을 쓰게 되면 이차방정식의 해를 구할 때 시간도 절약되고,
실수도 많이 줄일 수 있습니다.
예제를 하나 풀어보면,
[풀이]
이차방정식의 근의 공식은 절대 잊어버리면 안 되는 공식이므로 반드시 외워둬야 합니다.
여러 가지 이차방정식의 풀이
1. 계수가 소수 또는 분수 꼴인 이차방정식의 풀이 방법
- 계수가 소수이면 양변에 10, 100, 1000, 등의 10의 거듭제곱을 곱하여 계수를 정수로 바꾸어 정리한다.
- 계수가 분수이면 양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 계수를 정수로 바꾸어 정리한 후 방정식을 푼다.
2. 괄호가 있으면 전개하여 \( ax^2+bx+c=0 \) 꼴로 고친 후 방정식을 푼다.
3. 공통부분이 있으면 \( (공통부분)=A \) 라 놓고 \( aA^2+bA+c=0 \) 꼴로 고친다.
여러 가지 모양의 이차방정식 풀이하는 방법은 풀기 전에 계수들을 정수로 바꾼 후에 인수분해를 이용하던지,
근의 공식을 이용해서 해를 구하면 됩니다.
이차방정식의 활용
이차방정식의 근의 개수
이차방정식 \( ax^2+bx+c=0 (단, a \neq 0) \)의 근의 개수는 근의 공식 중 루트(√ ) 안의 \( b^2-4ac \) 의 부호에 의해 결정된다.
즉,
① \( b^2-4ac>0 \) 이면 서로 다른 두 근을 갖는다. → 2개
② \( b^2-4ac=0 \) 이면 한 근(중근)을 갖는다. → 1개
③ \( b^2-4ac<0 \) 이면 근이 없다. → 0개 (음수의 제곱근은 없으므로)
위의 ①과 ②에서 보듯이 이차방정식의 근이 존재하기 위해서는 \( b^2-4ac≥0 \) 이어야 한다는 것도 꼭 기억하세요.
또한 이차방정식 \( ax^2+bx+c=0 (단, a \neq 0) \)이 중근을 가질 조건은 \( b^2-4ac=0 \) 인 것도 절대로 잊으면 안 됩니다.
중근을 가질 조건 예제
[풀이]
이차방정식 구하기
① 두 근이 \( \alpha , \beta \) 이고, \( x^2 \)의 계수가 \( a(a\neq0) \) 인 이차방정식은
→ \( a(x-\alpha)(x-\beta)=0 \) 이라 놓으면 되고,
② \(x=\alpha\)를 중근으로 갖고, \(x^2\)의 계수가 \( a(a\neq0) \) 인 이차방정식은
→ \( a(x-\alpha)^2=0 \) 이라 놓으면 됩니다.
이차방정식의 활용 문제를 해결하는 과정
① 문제의 뜻을 이해하고 구하려는 값을 미지수로 놓는다.
② 문제의 뜻에 맞게 이차방정식을 세운다.
③ 이차방정식을 푼다.
④ 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인한다.
[주의사항]
특히 이차방정식의 모든 해가 문제의 답이 되는 것은 아니므로 문제의 조건에 맞는지 확인하는 것이 중요합니다.
이때 나이, 물건의 개수, 사람 수 등은 자연수이어야 하고, 시간, 길이 등은 양수이어야 함에 주의합니다.
KEY POINT
이차방정식의 풀 때에는 가장 먼저 인수분해가 되는지 여부를 파악하고,
인수분해가 되면 인수분해를 이용해서 해를 구하고 인수분해가 되지 않을 때에는
근의 공식을 이용해서 해를 구합니다.
\( x \)에 대한 이차방정식 \( ax^2+bx+c=0 (단, a \neq 0) \) 의 해는
$$ x=\frac{-b±\sqrt {b^2-4ac}}{2a} \;\;(단, b^2-4ac≥0) $$
\( x \)의 계수가 짝수일 때, \( x \)에 대한 이차방정식 \( a'x^2+2b'x+c=0 (단, a \neq 0) \) 의 해는
$$ x=\frac{-b'±\sqrt {b'^2-ac}}{a} \;\; (단, b'^2-ac≥0) $$
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