중학수학 중2 1학기 기말고사 대비 - 일차함수

안녕하세요. 중학교 2학년 1학기 기말고사를 대비해서 일차함수와 그 활용에 대한 중요 개념에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

중학 수학 중2 1학기 기말고사 대비 - 일차함수와 활용

 

 

 일차함수란?

우선 함수라는데 도대체 무엇인지 알아보겠습니다.

함수란 두 변수 x, y 사이에 x의 값이 하나 정해짐에 따라 y의 값이 오직 하나로 정해지는 관계가 있을때, y를 x에 관한 함수라고 하고, \(y=f(x)\) 로 나타냅니다.

기억해야 할 부분은 y가 x에 관한 함수이다 라는 부분입니다. 그래서 함숫값이라는 건 y값을 의미하는 것입니다.

 

자 그럼 일차함수라는 것은 함수 \(y=f(x)\) 에서 y가 x에 대한 일차식, 즉

$$y=ax+b\; ( a , b는 상수, a\neq0 )$$ 로 나타날 때, 이 함수를 x에 대한 일차함수라 합니다.

\( y=-x ,\; y=2x+6 ,\; y=\frac{1}{4}x-3\) → 일차함수이다.

\( y=\frac{3}{x} ,\; y=x^2-1 ,\; y=5\) → 일차함수가 아니다.

 

이해가 되시나요? 어렵지 않으니까 \(y=ax+b\; ( a , b는 상수, a\neq0 )\) 이것만 확실하게 기억하시면 됩니다.

 

그리고 위에서도 언급했듯이 함수값은 y 값입니다. 예를 들어

\( f(x)=3x+2 일 때, f(2)=3\times2+2=8 , \; f(5)=3\times5+2=17 \) 이 됩니다.

 

일차함수식(\(y=ax+b\;\))을 보시면 알 수 있듯이 일차함수식은 미지수가 두개 (x, y) 인 일차방정식임을 알수 있습니다. 

그 의미는 일차함수 식을 참이 되게 하는 x , y를 순서쌍 (x, y)로 나타내면 그 해는 무수히 많습니다.

그 각각의 하나의 해는 좌표평면에서 점의 좌표로 나타나게 되는데 그 해가 무수히 많으므로 그 모든 해를 좌표평면에 나타낸다고 생각하면 좌표평면에서 하나의 직선이 됩니다. 

즉, 일차함수 식은 좌표평면에서 하나의 직선 모양으로 나타나게 된다는 것입니다.

 

쉬운 내용이지만 너무 중요한 개념이랍니다.

더군다나 앞으로 고등학교 때까지 많은 함수에 대해서 공부를 하게 될 텐데 항상 같이 나오는 부분이 바로 그래프로 나타냈을 때 직선과의 교점 또는 직선과의 위치 관계에 관해서 문제가 많이 출제된답니다. 

그렇기 때문에 이 일차함수에 관해서는 기본개념과 의미를 정확하고 이해하고 익숙하게 다룰 줄 알아야 합니다. 

 

 

 일차함수의 그래프 - 평행이동, x절편, y절편, 기울기

평행이동이란 한 도형을 일정한 방향 ( x축방향, y축방향 )으로 일정한 거리만큼 이동하는 것을 말합니다. 

( 여기서 x축 방향은 좌우 방향, y축 방향은 상하 방향입니다. )

 

그럼 일차함수 \(y=ax+b\;\)의 그래프는 위에서 언급했듯이 직선 모양일 텐데 어떤 직선이냐 하면,

중학교 1학년 때 배웠던 정비례 관계 함수인 \(y=ax\;\) 를 \(y\)축 방향으로 \(b\)만큼 평행 이동한 직선이 된다는 것입니다.

$$
y=ax\;를 \; \xrightarrow[
{\color{Blue} b}만큼 평행이동]{y축 방향으로}\; 
y=ax+
{\color{Blue} b}\; $$

예를 들면

일차함수 \(y=3x+5\;\)의 그래프는 일차함수 \(y=3x\;\)의 그래프를 \(y\)축 방향(상하 방향)으로 +5 만큼 평행 이동한 직선이 됩니다.

 

그럼 \(y=ax\;\)의 그래프에 대해서 간단하게 복습을 해보면 \(y=ax\;\)는 

• \(a\) 에 상관없이 항상 원점 O(0,0)을 지납니다.
• \(a\)>0 이면 오른쪽 위로 올라가는 직선이고, \(a\)<0 이면 오른쪽 아래로 내려가는 직선입니다.
• \(\left | a \right | \) 가 클수록 y축에 가까워집니다. 

이번에 \(x\)절편과 \(y\)절편에 대해서 알아봅시다. 절편은 떡이 아니고, 축과의 교점이라고 생각하면 쉽습니다.

즉 \(x\)축 과의 교점을 \(x\)절편, \(y\)축 과의 교점을 \(y\)절편 이라 한답니다. 참 쉽죠?

그럼 \(x\)절편과 \(y\)절편을 구하는 방법 또한 어렵지 않습니다. 

\(x\)절편은 일차함수 식에 \(\;y=0\;\)을 대입해서 \(x\)의 값을 구하면 되고, \(y\)절편은 일차함수식에 \(\;x=0\;\)을 대입해서 \(y\)의 값을 구하면 된답니다.

 

\(x\)절편이 \(a\)이다 → \(x\)축과 만나는 점의 \(x\)좌표가 \(a\) 이다.

                       → 점 \( (a,0)\) 을 지난다.

                       → \(y=0\) 일 때, \(x\)의 값이 \(a\) 이다.

 

\(y\)절편이 \(b\)이다 → \(y\)축과 만나는 점의 \(y\)좌표가 \(b\) 이다.

                       → 점 \( (0,b)\) 을 지난다.

                       → \(x=0\) 일 때, \(y\)의 값이 \(b\) 이다.

 

자 이해가 되시나요? 이렇게 \(x\)절편과 \(y\)절편에 대해서 간단히 설명드렸는데

\(x\)절편과 \(y\)절편을 배운 이유는 \(x\)절편과 \(y\)절편을 이용하여 일차함수의 그래프를 그릴수 있기 때문입니다.

 

\(x\)절편과 \(y\)절편을 이용하여 일차함수 그래프 그리는 순서는

1. \(x\)절편을 구하여 \(x\)축과의 만나는 점을 좌표평면 위에 나타낸다.
2. \(y\)절편을 구하여 \(y\)축과의 만나는 점을 좌표평면 위에 나타낸다.
3. 위 1,2의 두 점을 직선으로 연결하면 됩니다.

 

자, 이번엔 일차함수에서 가장 중요하다고 할 수 있는 기울기에 대해서 공부해 봅시다. 

하나의 일차함수 \(y=ax+b\;\) 의 그래프에서 \(x\)값의 증가량에 대한 \(y\)값의 증가량의 비율은 항상 일정합니다. 

그리고 그 비율은 \(x\)의 계수인 \(a\)와 같습니다. 이 증가량의 비율 \(a\)를 일차함수 \(y=ax+b\;\)의 그래프의 기울기라 합니다.

$$기울기=
\frac{y값의 증가량}{x값의 증가량}=a$$

너무너무 중요합니다. 두말하면 잔소리고 세말 하면 입 아픕니다.

혹시 이해가 안 되시면 몇번이라도 반복해서 복습하시고, 그래도 이해가 잘 안되시면 댓글 달아주세요.

 

정리하자면 일차함수 \(y=ax+b\;\) 에서 \(x\)의 계수인 \(a\)는 기울기가 되는 것이고, 상수항인 \(b\) 가 \(y\)절편이 됩니다.

 

1. 일차함수 \(y=ax+b\;\) 의 그래프의 성질

일차함수 그래프 성질

위 그림에서 보듯이 기울기(\(a\))의 부호 따라서 그래프의 모양이 결정되고, 상수항인 \(b\)는 그래프가 \(y\)축과 만나는 부분을 결정합니다.

 

중요!! 일차함수이기에 최고차 항의 계수가 기울기 이지만, 앞으로 고등학교때 배워야 할 여러 함수들도 마찬가지로 최고차항의 계수의 부호는 항상 그래프의 모양을 결정합니다. 

 

2. 일차함수 \(y=ax+b\;\) 의 그래프의 평행과 일치

일차함수 그래프의 평행과 일치

이 두 직선의 위치 관계는 연립방정식에 관한 포스팅에서도 언급이 된 적이 있습니다.

일차함수의 그래프와 연립 일차방정식은 항상 연계해서 생각하시면 도움이 많이 되고 특히 일차함수는 다른 함수들과도 항상 같이 등장하기 때문에 그래프도 확실하게 알아두셔야 합니다. 

 

3. 일차함수의 식 구하기

일차함수 식 구하기

함수 식 구할 때 위 그림에서 보듯이 기울기와 \(y\)절편만 구하면 일차함수식을 구할수 있습니다. 어렵게 생각하지 말고 기울기와 \(y\)절편 구하는 것에 집중하시면 됩니다.

 

4. 일차함수의 활용 문제를 해결하는 과정

• 변하는 두 양을 \(x\) , \(y\)로 놓는다.
• \(x\) 와 \(y\) 사이의 관계를 일차함수 \(y=ax+b\;\) 로 나타낸다.
• 일차함수의 식이나 그래프를 이용하여 문제를 푸는 데 필요한 값을 구한다.
• 구한 값이 문제의 뜻에 맞는지 확인한다.

 

 

 일차방정식 \(x=m\; , y=n\;\) 의 그래프

1. 일차방정식 \(x=m\;(m\neq0)\)의 그래프

   점 \( (m , 0) \)을 지나고 \(y\)축에 평행한 (\(x\)축에 수직인) 직선

 

2. 일차방정식 \(y=n\;(n\neq0)\)의 그래프

   점 \( (0 , n) \)을 지나고 \(x\)축에 평행한 (\(y\)축에 수직인) 직선

 

현재 고등학생들 조차도 이 직선의 방정식을 모르는 경우가 많습니다. 

참고로 \(y\)축의 방정식은 \(x=0\;\) 이 되고, \(x\)축의 방정식은 \(y=0\;\)이 된답니다.

 

 

 

 연립 일차방정식의 해의 개수와 두 그래프의 위치 관계

여러 번 반복해서 나오는 내용이긴 하지만 아무리 반복해서 포스팅을 해도 이상하지 않을 내용입니다.

연립방정식의 해와 두 직선과의 위치관계

연립방정식에서 주어진 \(ax+by+c=0\;\)의 모양을 \(y=mx+n\;\) 모양으로 변형한 후 기울기와 \(y\)절편을 알아낸 후 두 직선을 비교하면 되겠습니다.

 

 

 KEY POINT

여러 번 반복해서 나오는 내용이긴 하지만 아무리 반복해서 포스팅을 해도 이상하지 않을 내용입니다.

 

일차함수 식 \(y=ax+b\;\)의 기울기= \(a\;\) , \(y절편=b\;\)

뭐니 뭐니 해도 일차함수에서 가장 중요한 것은 기울기와 \(y절편\;\) 입니다. 

그래프 상에서 기울기 구하는 방법과 \(y절편\;\) 을 찾아낼 수 있으면 일차함수의 거의 반 이상은 아는 것이라고 말할 수 있습니다.

 

그러니 함수라고 괜히 어렵다고 느끼지 마시고 기초부터 하나씩 하나씩 제발 눈으로만 공부하지 말고 연습장에 기울기도 구해보고, 그래프도 그려보고 여러 가지 조건이 주어졌을 때 함수 식도 세워보면서 공부하다 보면 어느새 일차함수의 고수가 되어 있을 것입니다. 

 

그럼 파이팅하면서 자기 자신을 다듬고 또 가꿔보시면서 내 인생이라는 도화지에 멋지게 그림을 한번 그려보세요!!